Função Exponencial

Introdução

A função exponencial é uma das mais importantes para a explicação e estudos de muitos fenômenos naturais e também para o projeto de muitas máquinas, é ferramenta indispensável para físicos, químicos, biólogos e também para engenheiros, que devem sabê-la muito bem para aplicá-la em seus trabalhos tanto nas pesquisas, caso dos físicos, químicos e biólogos, como também na engenharia, caso dos engenheiros.

Para exemplificar como a função exponencial está presente no dia-a-dia dos estudos dos cientistas, vamos analisar um pequeno exemplo de árvore genealógica. Gustavo e Karina formam um casal que em suas famílias as pessoas vivem muito tempo. Vamos calcular quantos avós e bisavós têm em conjunto Gustavo e Karina. para iniciarmos contamos quantos os pais de cada um e depois somamos, depois os avós e por último os bisavós. Assim temos:

pais → 2 + 2 = 4 = 2²
avôs/avós → 4 + 4 = 8 = 2³
bisavôs/bisavós → 8 + 8 = 16 = 2⁴

Observamos assim que a cada passo o número de pessoas dobra. Se continuássemos calculando o número de pessoas na quinta geração (trisavôs / trisavós) , teríamos:

16 + 16 = 32 = 2⁵

Notamos assim que para cada geração x que se escolha há um número f(x) de ascendentes em função de x, e a lei que expressa f(x) em função de x é f(x) = 2x, que é um caso particular de função exponencial.

Esse pequeno exemplo expressa o número de pais, avôs e avós, bisavôs e bisavós, etc... de Gustavo e Karina. No estudo de muitos casos que envolva as gerações de populações animais, por exemplo, os biólogos fazem uso da função exponencial para estudar o comportamento de tais populações, por exemplo o crescimento de uma cultura de peixes numa lagoa, a evolução de uma população de bactérias em certo organismo, o estudo do Caos de uma população animal é um excelente exemplo de estudo utilizando a função exponencial.

Definições da Função Exponencial

- Funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem muito rapidamente.
Chama-se função exponencial a função ƒ:R→R₊^* tal que ƒ(x)= a^x em que a € R, 0<a≠1.
O a é chamado de base e o ^x de expoente.

A função pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se a base a for > 1, a função é crescente; Se a base a for um número real entre 1 e 0, (0<a< 1) a função é decrescente.

- Propriedades da Função Exponencial

Sendo a > 0 e a ≠ 1, tem-se que a^x=a^t↔ x = t;
A função exponencial ƒ(x)=a^x é crescente em todo seu domínio se, e somente se, a>1;
A função exponencial ƒ(x)=a^x é decrescente em todo seu domínio se, e somente se, 0<a<1;
Toda função exponencial, isto é, ƒ(x)=a^x com a € R₊^* e a ≠ 1 é bijetora;

A função exponencial é uma das mais importantes funções da matemática. Descrita como e^x pode ser definida de duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma sequência :

$e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots$

Potência

1. Potência com expoente natural

Dado um número real a e um número natural n diferente de zero, chama-se potência de base a e expoente n o número aⁿ que é igual ao produto de n fatores iguais a a.

aⁿ = a . a . a... a, onde:

a = base

n = expoente

Exemplos:

4⁴ = 4 . 4 . 4 . 4 = 256

(-4)³ = (-4) . (-4) . (-4) = -64

Observação: Para n = 1, temos: a¹ = a

Exemplo:

6¹ = 6

Propriedades

Dados a e b reais e m e n naturais, as seguintes propriedades são válidas:

Observação: para expoentes iguais a zero, convencionou-se que a a⁰ = 1, com a diferente de zero.

2. Potência com expoente inteiro negativo

3. Potência com expoente racional fracionário

Exercícios Resolvidos

Aplicando as propriedades de exponencial temos:

10^x(x-1)=10^-6	Agora com as bases igualadas podemos cortá-las.
x(x-1)=-6	Operando
x²-x=-6 x²-x+6=0	Chegamos em uma equação do segundo grau, aplicando Bhaskara achamos os resultados
	Note que temos uma raiz quadrada de um número negativo! Isto não é um número do conjunto dos REAIS (R), portanto a resposta é x R (x não pertence aos REAIS).

4^x²=256
4^x²=4⁴
x²=4

    2^x²-7x+12=1
    2^x²-7x+12=2⁰
    x²-7x+12=0 (Bhaskara)
    x=4
    x=3

4)
      fexpoexeresolv3.gif (1260 bytes)

Tirando MMC

8·2^x+2^x=18
   9·2^x=18
     2^x=2
     x=1

5)

   3^x(x-4)=3^-3
    x(x-4)=-3
    x²-4x=-3
    x²-4x+3=0 (Bhaskara)
    x'=3
    x''=1

6)

   3^x²-10x+7=3^-2
    x²-10x+7=-2
    x²-10x+7+2=0
    x²-10x+9=0   (Bhaskara)
    x'=9
    x''=1

7)
    4^-(x-1)=4^2(x+2)
     -(x-1)=2(x+2)
     -x+1=2x+4
     -x-2x=4-1
     -3x=3
     x=-1

8) Se

, então "x" vale:

    (A)
    (B)
    (C)
    (D)
    (E)

- Primeiro vamos transformar os decimais (números com vírgula) em frações:

- Veja que podemos simplificar a fração da esquerda e transformar em potência o lado direito da igualdade:

- As bases estão quase igualadas, só que uma é o inverso da outra. Vamos inverter uma delas e adicionar o expoente "-1".

- Agora sim, com as bases igualadas podemos cortá-las:

Resposta certa letra "B".

9) (PUC-RS) A soma das raízes da equação é:

    (A) -4
    (B) -2
    (C) -1
    (D) 2
    (E) 4

- Primeiro vamos "passar" o nove que está multiplicando o lado esquerdo para o lado direito dividindo:

5^x²-2x+1=5625/9
5^x²-2x+1=625

- Fatorando:

5^x²-2x+1=5⁴

- Cortando as bases:

x²-2x+1=4
x²-2x+1-4=0
x²-2x-3=0

- Sendo a fórmula da soma das raízes S=-b/a, temos:

S=-(-2)/1
S=2 Resposta certa letra "D"

10) (UFRGS) Sabendo-se que

, tem-se que

vale:

    (A) -4
    (B) -2
    (C) 0
    (D)
    (E) 2

- Para resolver este problema, não precisamos achar o valor de "x" . É pedido quanto vale 6^-x, se nós calcularmos quanto é 6^x podemos calcular o que é pedido. Veja só:

6^x+2=72
6^x·6²=72
6^x·36=72
6^x=72/36
6^x=2